Tétraèdre orthocentrique

Dans un tétraèdre, on appelle hauteur une droite passant par l’un des sommets de ce tétraèdre et perpendiculaire au plan de la face opposée à ce sommet. On dit qu'un tétraèdre est orthocentrique si ses quatre hauteurs sont concourantes.

1. On considère un tétraèdre \(\text {ABCD}\)  et on note \(\text H\)  le projeté orthogonal du point  \(\text A\) sur le plan \(\text {(BCD)}\)  et  \(\text H'\) le projeté orthogonal de  \(\text B\) sur \(\text {(ACD)}\) . Démontrer que, si les hauteurs du tétraèdre   \(\text {ABCD}\)  issues des points \(​\text A ​\) et  \(​\text B\) sont sécantes, alors la droite \(\text {(BH)}​\)  est une hauteur du triangle \(\text {BCD}​\) .

2. Dans l’espace muni d’un repère orthonormal \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) , on donne les points  \(\text A(3~;~2~;-1)\) , \(\text B(-6~;~1~;~1)\) , \(\text C(4~;-3~;~3)\)  et \(\text D(-1~;-5~;-1)\) .
    a. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan \(\text {(BCD)}\)  est : \(-2x-3y+4z-13=0\) .
    b. Déterminer les coordonnées du point   \(\text H\) , projeté orthogonal du point \(​\text A ​\) sur le plan \(\text {(BCD)}\) .
    c. Calculer le produit scalaire \(\overrightarrow{\text {BH}}\cdot \overrightarrow{\text{CD}}\) .
    d. Le tétraèdre  \(\text {ABCD}\) est-il orthocentrique ?

3. On définit les points \(\text I(1~;~0~;~0)\) , \(\text J(0~;~1~;~0)\)  et \(\text K(0~;~0~;~1)\) . Le tétraèdre  \(\text {OIJK}\) est-il orthocentrique ?